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Appunti di Statistica
Avvertenza
Introduzione
1
I Fenomeni Collettivi
1.1
I Dati
1.2
Variabili Statistiche
1.3
Popolazioni Statistiche
1.4
Le rilevazioni Statistiche
1.4.1
Fasi dell’indagine
1.5
La matrice dei dati
1.6
Riepilogo sulle Variabili
2
Variabili Statistiche e Distribuzioni di Frequenza
2.1
Variabili Statistiche
2.1.1
Notazione di Base
2.1.2
Ordinamento e conteggio
2.2
Distribuzione di Frequenza
2.2.1
Dati quantitativi continui
2.2.2
Raggruppamenti in Classi
2.2.3
Frequenze Cumulate
2.3
Istogramma di Densità
2.4
La Funzione di Ripartizione
2.5
L’inversa della Funzione di Ripartizione
2.6
Indicatori Sintetici di Centralità e di Variabilità
2.7
Riepilogo
3
Media Aritmetica, Varianza e Standard Deviation
3.1
Media Aritmetica
3.1.1
La Media Aritmetica come Baricentro dell’Istogramma
3.1.2
Calcolo per Distribuzioni di Frequenza
3.1.3
Proprietà della Media Aritmetica
3.2
La varianza
3.2.1
Calcolo per Distribuzioni di Frequenza
3.2.2
Proprietà della Varianza
3.3
La Standard Deviation
3.3.1
Proprietà della Standard Deviation
3.4
Esempi
4
Mediana, Percentili e Moda
4.1
La Mediana
4.1.1
Dati espressi in distribuzione di frequenza
4.1.2
Dati espressi in classi
4.1.3
Proprietà della Mediana
4.2
I Percentili
4.2.1
Dati espressi in distribuzione di frequenza
4.2.2
Dati espressi in classi
4.2.3
I Quartili
4.2.4
Percentili e Funzione di Ripartizione
4.3
Lo Scarto Interquartile
4.4
La Moda
4.4.1
La Moda per dati raccolti in classi
4.5
Relazione tra Media, Moda e Mediana
4.6
Istogramma e Percentili
5
Cenni di Teoria della probabilità
5.1
Concetti di base
5.1.1
Eventi
5.1.2
Algebra degli eventi
5.1.3
Operazioni su insieme
5.1.4
La probabilità è una funzione
5.1.5
Definizioni di probabilità
5.2
Teoria di Kolmogorov
5.2.1
Algebra degli Eventi
5.2.2
Assiomi di Kolmogorov
5.2.3
Proprietà di
\(P\)
5.3
Probabilità Condizionata
5.3.1
Indipendenza tra Eventi
5.3.2
Indipendenza e Incompatibilità
5.3.3
Partizioni di
\(\Omega\)
5.3.4
Teorema delle probabilità totali
5.3.5
Il Teorema di Bayes
5.4
Specchietto finale utile per gli esercizi elementari
6
Variabili Casuali
6.1
Definizione formale di una VC discreta
6.1.1
Descrizione di una VC
6.1.2
Operazioni tra VC
6.2
Valore Atteso, e Varianza di una VC
6.3
Indipendenza tra VC
6.4
VC condizionate (complementi)
6.4.1
Valore atteso e varianza condizionata (complementi)
6.4.2
Esempio di indipendenza tra VC
6.5
Specchietto finale per le VC discrete
6.6
Le VC continue
6.6.1
Valore Atesso e Varianza di una VC continua
7
Variabili Casuali di particolare interesse
7.1
La VC di Bernoulli
7.1.1
Valore Atteso e Varianza
7.1.2
In Sintesi
7.2
La VC Binomiale
7.2.1
La VC Binomiale attraverso un esempio
7.2.2
Il modello
7.2.3
Dimostrazione del Valore atteso e della Varianza
7.2.4
Esempio
7.2.5
Proprietà
7.2.6
In Sintesi
7.3
La VC di Poisson
7.3.1
Obiettivo
7.3.2
Storia
7.3.3
Il modello
7.3.4
Dimostrazione del Valore atteso e della Varianza della Poisson
7.3.5
Esempio
7.3.6
Proprietà della Poisson
7.3.7
In Sintesi
7.4
La VC Normale
7.4.1
Obiettivo
7.4.2
Storia
7.4.3
Il modello
7.4.4
Proprietà della Normale
7.4.5
La normale standard
7.4.6
La Funzione di Ripartizione della Normale Standard
7.4.7
La tavole Statistiche della
\(Z\)
7.4.8
In Sintesi
7.4.9
Esempio
8
Il Teorema del Limite Centrale
8.1
Successioni di VC
8.2
Somme e Medie di VC
8.3
Teoremi del Limite Centrale
8.3.1
Esempio Somma
8.3.2
Roulette
9
Statistiche campionarie
9.1
Risultati preliminari
9.2
La distribuzione Chi-quadro
\(\chi^2\)
9.2.1
Le tavole del
\(\chi^2\)
9.3
La distribuzione
\(t\)
-di Student
9.3.1
Le tavole della
\(t\)
9.4
La distribuzione di
\(\hat\sigma^2\)
9.5
La distribuzione della statistica standardizzata
10
Inferenza: concetti introduttivi
10.1
Inferenza deduttiva, induttiva diretta e indiretta
10.2
Inferenza da Popolazioni finite, infinite, da modello e distribution free
11
Elementi di Teoria della Stima
11.1
Campionamento
11.1.1
Lessico
11.1.2
Esempio al finito
11.1.3
Lessico
11.2
Gli stimatori
11.2.1
Stimatori e Stime
11.2.2
Come scegliere uno stimatore
11.2.3
Proprietà Auspicabili di uno stimatore (per
\(n\)
finito)
11.2.4
Media aritmetica e varianza campionaria caso IID
11.2.5
Media aritmetica campionamento SR (popolazioni finite)
11.2.6
Esempi
11.2.7
Distribuzione delle statistiche
11.2.8
Proprietà Auspicabili di uno stimatore (per
\(n\to\infty\)
)
11.3
La
\(SD\)
e lo
\(SE\)
12
Teoria della Verosimiglianza
12.1
Il Modello Statistico
12.1.1
Esiste lo stimatore più efficiente?
12.2
La Verosimiglianza
12.2.1
La Verosimiglianza attraverso un esempio
12.2.2
Se
\(\pi\)
fosse…
12.2.3
La verosimiglianza non è una probabilità
12.2.4
La stima di massima verosimiglianza
12.2.5
Esempio IID da popolazione finita (parte due)
12.2.6
Abbiamo trovato il vero
\(\pi\)
?
12.2.7
Muoviamo anche
\(S_n\)
12.3
La Funzione di Verosimiglianza
12.4
La Stimatore di massima Verosimiglianza
12.5
Il Principio di Verosimiglianza
12.6
Verosimiglianza e Statistiche Sufficienti
12.7
Caso Bernoulli urna infinita.
12.7.1
Calcolo delle proprietà di
\(\hat\pi\)
12.7.2
Se
\(n\)
aumenta e
\(\hat\pi=0.6\)
12.7.3
L’ipotesi
\(\pi=0.5\)
12.8
Il modello Poisson
12.8.1
La log-verosimiglianza della Poisson
12.8.2
La stima di massima verosimiglianza della Poisson
12.8.3
Proprietà dello stimatore di massima verosimiglianza della Poisson
\(\hat\lambda\)
12.8.4
Esempio
\(n=5\)
12.8.5
Esempio
\(n=50\)
12.9
Il modello Normale
12.9.1
Verosimiglianza e log-verosimiglianza della Normale
12.9.2
Le stime di massima verosimiglianza della Normale
12.9.3
Proprietà di
\(\hat\mu\)
12.9.4
Proprietà di
\(\hat\sigma^2\)
12.9.5
Lo
\(SE\)
di
\(\hat\mu\)
12.9.6
Esempio
\(n=10\)
12.9.7
Esempio
\(n=100\)
12.9.8
Perché
\(n-1\)
12.10
Proprietà degli stimatori di massima verosimiglianza
13
Stima Intervallare
13.1
Obiettivo
13.2
Il Contesto Probabilistico
13.2.1
Un intervallo per
\(\hat \mu\)
13.2.2
\(n\)
e
\(\sigma^2\)
rimangono fissi, cambiamo
\(\mu\)
13.2.3
\(n\)
e
\(\sigma^2\)
rimangono fissi e noti,
\(\mu\)
incognita
\(\hat \mu=2.6\)
13.3
Intervalli casuali
13.4
Intervallo di confidenza per
\(\mu\)
al 95%,
\(n=5\)
e
\(\sigma^2=2.25\)
.
13.5
Stimatori e intervalli di confidenza
13.6
Massima Verosimiglianza e intervalli di confidenza
13.7
Intervalli di Confidenza per
\(\mu\)
al livello
\((1-\alpha)\times 100\)
,
\(\sigma^2\)
nota
13.8
Intervalli di Confidenza per
\(\mu\)
al livello
\((1-\alpha)\times 100\)
,
\(\sigma^2\)
incognita
13.8.1
\(\sigma\)
nota e
\(\sigma\)
incognita
13.9
IDC per la proporzione
13.9.1
IdC per
\(\pi\)
per
\(\alpha\)
ed
\(n\)
fissati
13.10
Specchietto Finale per gli IdC
14
Teoria dei test
14.1
Le Ipotesi
14.1.1
Esempi di ipotesi
14.2
La Decisione
14.3
La tavola della verità
14.4
Esempio: Scegliere tra due ipotesi semplici
14.4.1
Tre diversi Test a confronto
14.4.2
Gli errori della decisione A
14.4.3
Gli errori della decisione B
14.4.4
Gli errori della decisione C
14.4.5
Confronto
14.5
Ipotesi Nulla e Ipotesi Alternativa
14.6
Rifiutare o non rifiutare
\(H_0\)
14.7
Test per
\(\mu\)
: due ipotesi semplici,
\(\sigma^2\)
nota
14.7.1
Test per
\(\mu\)
: scegliere il punto critico
14.7.2
Probabilità di errore di primo e di secondo tipo
14.7.3
Test per
\(\alpha\)
fissato,
\(\alpha=0.05\)
14.7.4
La regola di decisione,
\(\alpha=0.05\)
14.7.5
Test per
\(\alpha\)
fissato,
\(\alpha=0.01\)
14.7.6
La regola di decisione,
\(\alpha=0.01\)
14.8
\(H_0\)
semplice e
\(H_1\)
composta
14.9
La Statistica Test
15
Test per una media e una proporzione
15.1
Test sulla media,
\(\sigma^2\)
noto
15.1.1
Test sulla media, ipotesi unilaterale destra,
\(\sigma^2\)
noto
15.1.2
Test sulla media,
\(\sigma^2\)
noto, vari livelli di
\(\alpha\)
15.1.3
La probabilità di significatività osservata il
\(p_\text{value}\)
15.1.4
Lettura del
\(p_\text{value}\)
15.1.5
Test sulla media, ipotesi unilaterale sinistra,
\(\sigma^2\)
noto
15.1.6
Test sulla media, ipotesi bilaterale,
\(\sigma^2\)
noto
15.2
Significatività non fissata
15.3
Test per
\(\mu\)
,
\(\sigma\)
incognita
15.3.1
Test sulla media, ipotesi unilaterale destra,
\(\sigma^2\)
incognito
15.3.2
Test sulla media, ipotesi unilaterale sinistra,
\(\sigma^2\)
incognito
15.3.3
Test sulla media, ipotesi bilaterale,
\(\sigma^2\)
incognito
15.3.4
Significatività non fissata
15.4
Massima verosimiglianza e test
15.5
Test per
\(\pi\)
15.6
Specchietto Finale per i Test ad un Campione
16
Confronto tra due Popolazioni
16.1
Test per due medie
16.1.1
il contesto probabilistico
16.1.2
Derivazione della statistica test
16.1.3
Stima di
\(\sigma_A\)
e
\(\sigma_B\)
16.1.4
Ipotesi 1: omogeneità
16.1.5
Ipotesi 2: eterogeneità
16.1.6
Esempio
16.1.7
Esempio
16.2
Test per due proporzioni
16.2.1
Il contesto probabilistico
16.2.2
Derivazione della statistica test
16.2.3
Esempio
16.3
Specchietto Finale per i Test ad Due Campioni
17
Regressione Lineare
17.1
Il modello d’errore
17.1.1
Esempi
17.2
Il modello di regressione
17.3
La Regressione Lineare
17.3.1
Il modello di regressione lineare semplice
17.3.2
La Storia del Metodo
17.3.3
Gli assunti del modello di regressione
17.3.4
Il metodo dei minimi quadrati
17.3.5
La distanza di una retta dai punti (il metodo dei minimi quadrati)
17.3.6
Soluzioni dei minimi quadrati
17.4
La covarianza
17.4.1
Calcolo della covarianza
17.4.2
Interpretazione della Covarianza
17.4.3
Altre proprietà della covarianza
17.4.4
Campo di variazione della covarianza
17.4.5
Calcolo in colonna
17.4.6
Calcolo di
\(\hat\beta_0\)
e
\(\hat\beta_1\)
17.5
Proprietà della retta dei minimi quadrati
17.5.1
Calcolo di
\(\hat y_i\)
e
\(\hat\varepsilon_i\)
17.6
Il coefficiente di Correlazione
17.6.1
Proprietà di
\(r\)
17.7
Scomposizione della varianza
17.8
Il coefficiente di determinazione lineare
\(R^2\)
17.8.1
Interpretazione di
\(r^2\)
17.8.2
Scomposizione della varianza sui dati di esempio
17.9
Stima di
\(\sigma_\varepsilon^2\)
17.10
Statistiche Sufficienti del Modello di Reegressione
18
Inferenza e Diagnostica sul Modello di Regressione Lineare
18.1
Teorema di Gauss-Markov
18.2
La previsione
\(\hat Y\)
18.3
Standard Errors e Stima degli SE
18.4
Inferenza su
\(\beta_0\)
e
\(\beta_1\)
e su
\(\hat Y\)
18.4.1
Interpolazione e Estrapolazione
18.4.2
Intervalli di Confidenza per
\(\beta_0\)
,
\(\beta_1\)
e
\(\hat Y\)
18.4.3
Test per
\(\beta_0\)
, e
\(\beta_1\)
18.4.4
Esempio sui 4 punti
18.4.5
Calcolo dei valori osservati e dei valori critici
18.4.6
Se
\(n=10\)
18.5
Il modello di regressione lineare multiplo
18.6
Analisi dei Residui
18.6.1
Diagramma dei residui e retta dei residui
18.6.2
Lettura del Diagramma dei residui
18.6.3
Normal QQ plot
18.7
Punti di leva, Outliers e punti influenti
18.7.1
Punti di leva
18.7.2
I residui Studentizzati
18.8
Relazione tra
\(Y|X\)
e
\(X|Y\)
18.8.1
Relazione tra gli
\(\alpha\)
i
\(\beta\)
ed
\(r\)
18.8.2
Regressione sulle variabili standardizzate
19
Il Test Chi-Quadro
19.1
Test di Significatività pura
19.2
Associazione tra due variabili
19.2.1
Le tavole di contingenza
19.2.2
Un passo indietro: il concetto di indipendenza
19.2.3
Estensione a più di due modalità
19.2.4
Esempio
19.2.5
Dalla popolazione al campione
19.2.6
Notazione formale per le tavole di contingenza
19.2.7
Le frequenze sono stime dei
\(\pi\)
19.2.8
Esempio (continua)
19.3
L’indice
\(\chi^2\)
19.4
Test per l’ipotesi di indipendenza
19.4.1
La statistica test
\(\chi^2\)
19.4.2
Esempio
19.4.3
I gradi di libertà
19.5
Misure di Conformità
19.6
Il
\(\chi^2\)
come misura di conformità
19.6.1
Esempio: Scostamento da una uniforme
19.6.2
Esempio: Scostamento da una popolazione
19.6.3
Esempio: scostamento da una Poisson
20
Richiami sugli Operatori Sommatoria e Produttorio
20.1
Operatore Sommatoria
20.2
Operatore Produttorio
21
Richiami di Calcolo Combinatorio
21.1
Il coefficiente binomiale
22
Richiami di Matematica
22.1
Richiami sui logaritmi
22.2
Richiami di Analisi
22.2.1
Note sulla cardinalità degli insiemi
22.2.2
Funzioni Reali e loro derivate
23
Com’è Realizzato il Libro
23.1
R: A Language and Environment for Statistical Computing
23.1.1
R come calcolatrice
23.1.2
Operatori Speciali
23.1.3
Vettori e matrici
23.1.4
Liste e dataframe
23.1.5
Classi e Oggetti
23.1.6
I grafici
23.1.7
Le Funzioni in R
24
Funzioni usate nel libro
24.1
Istogramma
24.2
Probabilità
24.2.1
Tavole della somma
24.2.2
Binomiale
24.2.3
Poisson
24.2.4
Normale
24.2.5
TLC
24.3
Inferenza
24.3.1
Intervalli di Confidenza
24.3.2
Test
24.3.3
Regressione
24.4
Esempi
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CLEAM AA 23/24
Patrizio Frederic
Aggiornato al 05-08-2024
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