Esercizi sul TLC

Una VC qualunque: Somma, \(S_{n}\)

Un collo è composto di 64 confezioni. Ogni confezione ha un peso, \(X\), che si distribuisce secondo una VC che presenta \(E(X_{i})= 2\)kg e \(V(X_{i})=0.1\). Calcolare la probabilità che il collo superi il peso di 132kg.

Teorema del Limite Centrale (somma VC qualunque)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=64\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=2\) e \(V(X_i)=\sigma^2=0.1,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\mu,n\sigma^2) \\ &\sim & N(64\cdot2,64\cdot0.1) \\ &\sim & N(128,6.4) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n > 132 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\mu }{ \sqrt{n\sigma^2} } > \frac { 132 - 128 }{\sqrt{ 6.4 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 1.58 \right) \\ &=& 1-P(Z< 1.58 )\\ &=& 1-\Phi( 1.58 ) \\ &=& 0.0571 \end{eqnarray*}\]

Una VC qualunque: media, \(\bar{X}\)

Un collo è composto di 64 confezioni. Ogni confezione ha un peso, \(X\), che si distribuisce secondo una VC che presenta \(E(X_{i})= 2\)kg e \(V(X_{i})=0.1\). Calcolare la probabilità che il peso medio delle confezioni sia compreso tra \(1.9\)kg e \(2.1\)kg.

Teorema del Limite Centrale (media VC qualunque)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=64\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=2\) e \(V(X_i)=\sigma^2=0.1,\forall i\), posto: \[ \bar X=\frac{S_n}n =\frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \bar X & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\mu,\sigma^2/n) \\ &\sim & N\left(2,\frac{0.1}{64}\right) \\ &\sim & N(2,0.001563) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( 1.9 < \bar X \leq 2.1 ) &=& P\left( \frac { 1.9 - 2 }{\sqrt{ 0.001563 }} < \frac { \bar X - \mu }{ \sqrt{\sigma^2/n} } \leq \frac { 2.1 - 2 }{\sqrt{ 0.001563 }}\right) \\ &=& P\left( -2.53 < Z \leq 2.53 \right) \\ &=& \Phi( 2.53 )-\Phi( -2.53 )\\ &=& \Phi( 2.53 )-(1-\Phi( 2.53 )) \\ &=& 0.9943 -(1- 0.9943 ) \\ &=& 0.9886 \end{eqnarray*}\]

Un’urna: somma, \(S_{n}\)

Si abbia l’urna \(\fbox{-2}\quad \fbox{2}\quad \fbox{3}\quad \fbox{3}\quad \fbox{4}\)

Si effettuano 100 estrazioni con reimmissione (ECR). Calcolare la probabilità che la somma delle 100 estrazioni sia compresa tra 195 e 210.

\[\begin{eqnarray*} \mu &=& E(X_i) = \sum_{x\in S_X}x P(X=x)\\ &=& ( -2 ) \frac { 1 }{ 5 }+ 2 \frac { 1 }{ 5 }+ 3 \frac { 2 }{ 5 }+ 4 \frac { 1 }{ 5 } \\ &=& 2 \\ \sigma^2 &=& V(X_i) = \sum_{x\in S_X}x^2 P(X=x)-\mu^2\\ &=&\left( ( -2 ) ^2\frac { 1 }{ 5 }+ 2 ^2\frac { 1 }{ 5 }+ 3 ^2\frac { 2 }{ 5 }+ 4 ^2\frac { 1 }{ 5 } \right)-( 2 )^2\\ &=& 4.4 \end{eqnarray*}\] Teorema del Limite Centrale (somma VC qualunque)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=100\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=2\) e \(V(X_i)=\sigma^2=4.4,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\mu,n\sigma^2) \\ &\sim & N(100\cdot2,100\cdot4.4) \\ &\sim & N(200,440) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( 195 < S_n \leq 210 ) &=& P\left( \frac { 195 - 200 }{\sqrt{ 440 }} < \frac { S_n - n\mu }{ \sqrt{n\sigma^2} } \leq \frac { 210 - 200 }{\sqrt{ 440 }}\right) \\ &=& P\left( -0.24 < Z \leq 0.48 \right) \\ &=& \Phi( 0.48 )-\Phi( -0.24 )\\ &=& \Phi( 0.48 )-(1-\Phi( 0.24 )) \\ &=& 0.6844 -(1- 0.5948 ) \\ &=& 0.2792 \end{eqnarray*}\]

Un’urna: media, \(\bar{X}\)

Si abbia l’urna \(\fbox{-2}\quad \fbox{2}\quad \fbox{3}\quad \fbox{3}\quad \fbox{4}\)

Si effettuano 100 estrazioni con reimmissione (ECR). Calcolare la probabilità che la media nelle 100 estrazioni sia maggiore di 2.2.

\[\begin{eqnarray*} \mu &=& E(X_i) = \sum_{x\in S_X}x P(X=x)\\ &=& ( -2 ) \frac { 1 }{ 5 }+ 2 \frac { 1 }{ 5 }+ 3 \frac { 2 }{ 5 }+ 4 \frac { 1 }{ 5 } \\ &=& 2 \\ \sigma^2 &=& V(X_i) = \sum_{x\in S_X}x^2 P(X=x)-\mu^2\\ &=&\left( ( -2 ) ^2\frac { 1 }{ 5 }+ 2 ^2\frac { 1 }{ 5 }+ 3 ^2\frac { 2 }{ 5 }+ 4 ^2\frac { 1 }{ 5 } \right)-( 2 )^2\\ &=& 4.4 \end{eqnarray*}\] Teorema del Limite Centrale (media VC qualunque)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=100\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=2\) e \(V(X_i)=\sigma^2=4.4,\forall i\), posto: \[ \bar X=\frac{S_n}n =\frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \bar X & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\mu,\sigma^2/n) \\ &\sim & N\left(2,\frac{4.4}{100}\right) \\ &\sim & N(2,0.044) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( \bar X > 2.2 ) &=& P\left( \frac { \bar X - \mu }{ \sqrt{\sigma^2/n} } > \frac { 2.2 - 2 }{\sqrt{ 0.044 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 0.95 \right) \\ &=& 1-P(Z< 0.95 )\\ &=& 1-\Phi( 0.95 ) \\ &=& 0.1711 \end{eqnarray*}\]

2 Urne: Somma, \(S_{n}\)

Due urne sono così formate:

• l’urna A \({\fbox{-1} \fbox{1} \fbox{2}}\) e
  
• l’urna B \({\fbox{0} \fbox{0} \fbox{1}}\).

L’esperimento casuale consiste nell’estrarre con reimmissione un biglietto da ogni urna e sommare gli esiti. Sia \(X\) la variabile casuale ``somma dei due esiti”,

\[X=X_{A} + X_{B}.\]

Si ripete l’esperimento \(n=81\) volte. Qual è la probabilità (approssimata) che la somma dei risultati degli 81 esperimenti sia maggiore di 90?

\[ \begin{array}{ r|rrrrrr } & -1 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 3 }} & 1 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 3 }} & 2 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 3 }} \\ \hline 0 ;\color{blue}{ 2 / 3 }& -1;&\color{red}{\frac{2}{9}}& 1;&\color{red}{\frac{2}{9}}& 2;&\color{red}{\frac{2}{9}}\\ 1 ;\color{blue}{ 1 / 3 }& 0;&\color{red}{\frac{1}{9}}& 2;&\color{red}{\frac{1}{9}}& 3;&\color{red}{\frac{1}{9}}\\ \end{array} \]

E ricaviamo la distribuzione di, X

\[ \begin{array}{ r|rrrrr } X & -1& 0& 1& 2& 3 \\ \hline P( X ) & \frac{2}{9}& \frac{1}{9}& \frac{2}{9}& \frac{3}{9}& \frac{1}{9} \\ \end{array} \] Calcoliamo valore atteso e varianza

\[\begin{eqnarray*} \mu &=& E(X_i) = \sum_{x\in S_X}x P(X=x)\\ &=& ( -1 ) \frac { 2 }{ 9 }+ 0 \frac { 1 }{ 9 }+ 1 \frac { 2 }{ 9 }+ 2 \frac { 3 }{ 9 }+ 3 \frac { 1 }{ 9 } \\ &=& 1 \\ \sigma^2 &=& V(X_i) = \sum_{x\in S_X}x^2 P(X=x)-\mu^2\\ &=&\left( ( -1 ) ^2\frac { 2 }{ 9 }+ 0 ^2\frac { 1 }{ 9 }+ 1 ^2\frac { 2 }{ 9 }+ 2 ^2\frac { 3 }{ 9 }+ 3 ^2\frac { 1 }{ 9 } \right)-( 1 )^2\\ &=& 1.778 \end{eqnarray*}\]

E in virtù del TLC

Teorema del Limite Centrale (somma VC qualunque)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=81\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=1\) e \(V(X_i)=\sigma^2=1.778,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\mu,n\sigma^2) \\ &\sim & N(81\cdot1,81\cdot1.778) \\ &\sim & N(81,144) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( S_n > 90 ) &=& P\left( \frac { S_n - n\mu }{ \sqrt{n\sigma^2} } > \frac { 90 - 81 }{\sqrt{ 144 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 0.75 \right) \\ &=& 1-P(Z< 0.75 )\\ &=& 1-\Phi( 0.75 ) \\ &=& 0.2266 \end{eqnarray*}\]

2 Urne: Media, \(\bar{X}\)

Due urne sono così formate:

• l’urna A \({\fbox{-1} \fbox{1} \fbox{2}}\) e
  
• l’urna B \({\fbox{0} \fbox{0} \fbox{1}}\).

L’esperimento casuale consiste nell’estrarre con reimmissione un biglietto da ogni urna e sommare gli esiti. Sia \(X\) la variabile casuale “somma dei due esiti”,

\[X=X_{A} + X_{B}.\]

Si ripete l’esperimento \(n=81\) volte. Siano \(A=\{ \bar{X} < 1.2\}\) e \(B=\{ \bar{X} > 0.8 \}\). Qual è la probabilità (approssimata) che che la media dei risultati degli 81 esperimenti sia \(A\) e \(B\)?

\[\begin{eqnarray*} P(A\cap B)&=& P(0.8<\bar X<1.2) \end{eqnarray*}\]

\[ \begin{array}{ r|rrrrrr } & -1 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 3 }} & 1 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 3 }} & 2 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 3 }} \\ \hline 0 ;\color{blue}{ 2 / 3 }& -1;&\color{red}{\frac{2}{9}}& 1;&\color{red}{\frac{2}{9}}& 2;&\color{red}{\frac{2}{9}}\\ 1 ;\color{blue}{ 1 / 3 }& 0;&\color{red}{\frac{1}{9}}& 2;&\color{red}{\frac{1}{9}}& 3;&\color{red}{\frac{1}{9}}\\ \end{array} \]

E ricaviamo la distribuzione di, X

\[ \begin{array}{ r|rrrrr } X & -1& 0& 1& 2& 3 \\ \hline P( X ) & \frac{2}{9}& \frac{1}{9}& \frac{2}{9}& \frac{3}{9}& \frac{1}{9} \\ \end{array} \] Calcoliamo valore atteso e varianza

\[\begin{eqnarray*} \mu &=& E(X_i) = \sum_{x\in S_X}x P(X=x)\\ &=& ( -1 ) \frac { 2 }{ 9 }+ 0 \frac { 1 }{ 9 }+ 1 \frac { 2 }{ 9 }+ 2 \frac { 3 }{ 9 }+ 3 \frac { 1 }{ 9 } \\ &=& 1 \\ \sigma^2 &=& V(X_i) = \sum_{x\in S_X}x^2 P(X=x)-\mu^2\\ &=&\left( ( -1 ) ^2\frac { 2 }{ 9 }+ 0 ^2\frac { 1 }{ 9 }+ 1 ^2\frac { 2 }{ 9 }+ 2 ^2\frac { 3 }{ 9 }+ 3 ^2\frac { 1 }{ 9 } \right)-( 1 )^2\\ &=& 1.778 \end{eqnarray*}\]

E in virtù del TLC

Teorema del Limite Centrale (media VC qualunque)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=81\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=1\) e \(V(X_i)=\sigma^2=1.778,\forall i\), posto: \[ \bar X=\frac{S_n}n =\frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \bar X & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\mu,\sigma^2/n) \\ &\sim & N\left(1,\frac{1.778}{81}\right) \\ &\sim & N(1,0.02195) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( 0.8 < \bar X \leq 1.2 ) &=& P\left( \frac { 0.8 - 1 }{\sqrt{ 0.02195 }} < \frac { \bar X - \mu }{ \sqrt{\sigma^2/n} } \leq \frac { 1.2 - 1 }{\sqrt{ 0.02195 }}\right) \\ &=& P\left( -1.35 < Z \leq 1.35 \right) \\ &=& \Phi( 1.35 )-\Phi( -1.35 )\\ &=& \Phi( 1.35 )-(1-\Phi( 1.35 )) \\ &=& 0.9115 -(1- 0.9115 ) \\ &=& 0.823 \end{eqnarray*}\]

2 Urne: Media, \(\bar{X}\)

Due urne sono così formate:

• l’urna A \({\fbox{-1} \fbox{1} \fbox{1} \fbox{2}}\) e
• l’urna B \({\fbox{0} \fbox{1}}\).
  L’esperimento casuale consiste nell’estrarre con reimmissione un biglietto da ogni urna e sommare gli esiti. Sia \(X\) la variabile casuale “somma dei due esiti”,

\[X=X_{A} + X_{B}.\]

Si ripete l’esperimento \(n=92\) volte.

Qual è la probabilità (approssimata) che che la media dei risultati dei 92 esperimenti sia compresa tra 1 e 1.4?

\[ \begin{array}{ r|rrrrrr } & -1 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 4 }} & 1 ;&\color{blue}{ \frac{ 2 } { 4 }} & 2 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 4 }} \\ \hline 0 ;\color{blue}{ 1 / 2 }& -1;&\color{red}{\frac{1}{8}}& 1;&\color{red}{\frac{2}{8}}& 2;&\color{red}{\frac{1}{8}}\\ 1 ;\color{blue}{ 1 / 2 }& 0;&\color{red}{\frac{1}{8}}& 2;&\color{red}{\frac{2}{8}}& 3;&\color{red}{\frac{1}{8}}\\ \end{array} \]

E ricaviamo la distribuzione di, X

\[ \begin{array}{ r|rrrrr } X & -1& 0& 1& 2& 3 \\ \hline P( X ) & \frac{1}{8}& \frac{1}{8}& \frac{2}{8}& \frac{3}{8}& \frac{1}{8} \\ \end{array} \] Calcoliamo valore atteso e varianza

\[\begin{eqnarray*} \mu &=& E(X_i) = \sum_{x\in S_X}x P(X=x)\\ &=& ( -1 ) \frac { 1 }{ 8 }+ 0 \frac { 1 }{ 8 }+ 1 \frac { 2 }{ 8 }+ 2 \frac { 3 }{ 8 }+ 3 \frac { 1 }{ 8 } \\ &=& 1.25 \\ \sigma^2 &=& V(X_i) = \sum_{x\in S_X}x^2 P(X=x)-\mu^2\\ &=&\left( ( -1 ) ^2\frac { 1 }{ 8 }+ 0 ^2\frac { 1 }{ 8 }+ 1 ^2\frac { 2 }{ 8 }+ 2 ^2\frac { 3 }{ 8 }+ 3 ^2\frac { 1 }{ 8 } \right)-( 1.25 )^2\\ &=& 1.438 \end{eqnarray*}\]

E in virtù del TLC

Teorema del Limite Centrale (media VC qualunque)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=92\) VC IID, tc \(E(X_i)=\mu=1.25\) e \(V(X_i)=\sigma^2=1.438,\forall i\), posto: \[ \bar X=\frac{S_n}n =\frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \bar X & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\mu,\sigma^2/n) \\ &\sim & N\left(1.25,\frac{1.438}{92}\right) \\ &\sim & N(1.25,0.01562) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( 1 < \bar X \leq 1.4 ) &=& P\left( \frac { 1 - 1.25 }{\sqrt{ 0.01562 }} < \frac { \bar X - \mu }{ \sqrt{\sigma^2/n} } \leq \frac { 1.4 - 1.25 }{\sqrt{ 0.01562 }}\right) \\ &=& P\left( -2 < Z \leq 1.2 \right) \\ &=& \Phi( 1.2 )-\Phi( -2 )\\ &=& \Phi( 1.2 )-(1-\Phi( 2 )) \\ &=& 0.8849 -(1- 0.9772 ) \\ &=& 0.8621 \end{eqnarray*}\]

Bernoulli: Somma, \(S_{n}\)

Si abbia l’urna

\[4\text{ biglietti con } \fbox{0}, 6\text{ biglietti con } \fbox{1}\]

Si effettuano 100 estrazioni con reimmissione (ECR). Calcolare la probabilità che la somma delle 100 estrazioni sia compresa tra 55 e 70.

\[\begin{eqnarray*} X_{i} &\sim& \mbox{Ber}(\pi) \\ &\sim& \mbox{Ber}(0.6) \\ \pi &=& P(X_{i} = 1) = \frac{6} {10} = 0.6 \\ E(X_{i}) &=& \pi = 0.6 \\ V(X_{i}) &=& \pi (1-\pi) = 0.24 \end{eqnarray*}\]

Teorema del Limite Centrale (somma di Bernoulli)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=100\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.6)\)\(,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\pi,n\pi(1-\pi)) \\ &\sim & N(100\cdot0.6,100\cdot0.6\cdot(1-0.6)) \\ &\sim & N(60,24) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( 55 < S_n \leq 70 ) &=& P\left( \frac { 55 - 60 }{\sqrt{ 24 }} < \frac { S_n - n\pi }{ \sqrt{n\pi(1-\pi)} } \leq \frac { 70 - 60 }{\sqrt{ 24 }}\right) \\ &=& P\left( -1.02 < Z \leq 2.04 \right) \\ &=& \Phi( 2.04 )-\Phi( -1.02 )\\ &=& \Phi( 2.04 )-(1-\Phi( 1.02 )) \\ &=& 0.9793 -(1- 0.8461 ) \\ &=& 0.8254 \end{eqnarray*}\]

Bernoulli: Proporzione, \(\widehat{\pi}\)

Si abbia l’urna

\[4\text{ biglietti con } \fbox{0}, 6\text{ biglietti con } \fbox{1}\]

Si effettuano 81 estrazioni con reimmissione (ECR). Calcolare la probabilità che la proporzione di \(\fbox{1}\), nelle 81 estrazioni, sia compresa tra 0.6 e 0.65.

\[\begin{eqnarray*} X_{i} &\sim& \mbox{Ber}(\pi) \\ &\sim& \mbox{Ber}(0.6) \\ \pi &=& P(X_{i} = 1) = \frac{6} {10} = 0.6 \\ E(X_{i}) &=& \pi = 0.6 \\ V(X_{i}) &=& \pi (1-\pi) = 0.24 \end{eqnarray*}\]

Teorema del Limite Centrale (proporzione)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=81\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.6)\)\(,\forall i\), posto: \[ \hat\pi=\frac{S_n}n = \frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \hat\pi & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\pi,\pi(1-\pi)/n) \\ &\sim & N\left(0.6,\frac{0.6\cdot(1-0.6)}{81}\right) \\ &\sim & N(0.6,0.002963) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( 0.6 < \hat\pi \leq 0.65 ) &=& P\left( \frac { 0.6 - 0.6 }{\sqrt{ 0.002963 }} < \frac { \hat\pi - \pi }{ \sqrt{\pi(1-\pi)/n} } \leq \frac { 0.65 - 0.6 }{\sqrt{ 0.002963 }}\right) \\ &=& P\left( 0 < Z \leq 0.92 \right) \\ &=& \Phi( 0.92 )-\Phi( 0 )\\ &=& 0.8212 - 0.5 \\ &=& 0.3212 \end{eqnarray*}\]

2 Urne: Proporzione, \(\widehat{\pi}\)

Siano date due urne:

• l’urna A \({\fbox{-1} \fbox{1} \fbox{2}}\) e
  
• l’urna B \({\fbox{0} \fbox{0} \fbox{1}}\).

L’esperimento casuale consiste nell’estrarre con reimmissione un biglietto da ogni urna e sommare gli esiti. Sia \(X_{i}\) la variabile casuale “somma dei due esiti”,

\[X_{i}=X_{A; i} + X_{B; i}.\] Sia \(Y_{i}\) la variabile casuale “CONTA gli esiti \(X_{i}>0\)”. Si ripete l’esperimento \(n=81\) volte: \(i=1,\ldots, 81\).

Qual è la probabilità (approssimata) che che la proporzione di numeri maggiori di 0 negli 81 esperimenti sia maggiore di 0.68?

\[ \begin{array}{ r|rrrrrr } & -1 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 3 }} & 1 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 3 }} & 2 ;&\color{blue}{ \frac{ 1 } { 3 }} \\ \hline 0 ;\color{blue}{ 2 / 3 }& -1;&\color{red}{\frac{2}{9}}& 1;&\color{red}{\frac{2}{9}}& 2;&\color{red}{\frac{2}{9}}\\ 1 ;\color{blue}{ 1 / 3 }& 0;&\color{red}{\frac{1}{9}}& 2;&\color{red}{\frac{1}{9}}& 3;&\color{red}{\frac{1}{9}}\\ \end{array} \]

E ricaviamo la distribuzione di, X

\[ \begin{array}{ r|rrrrr } X & -1& 0& 1& 2& 3 \\ \hline P( X ) & \frac{2}{9}& \frac{1}{9}& \frac{2}{9}& \frac{3}{9}& \frac{1}{9} \\ \end{array} \]

\[\begin{eqnarray*} E(Y) &=& \pi = \frac{2} {3} \\ V(Y) &=& \pi\ (1-\pi) = \frac{2} {3}\ \left( 1- \frac{2} {3} \right) = \frac{2} {9} . \end{eqnarray*}\]

Per il TLC si ha

Teorema del Limite Centrale (proporzione)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=81\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.6667)\)\(,\forall i\), posto: \[ \hat\pi=\frac{S_n}n = \frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \hat\pi & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\pi,\pi(1-\pi)/n) \\ &\sim & N\left(0.6667,\frac{0.6667\cdot(1-0.6667)}{81}\right) \\ &\sim & N(0.6667,0.002743) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( \hat\pi > 0.68 ) &=& P\left( \frac { \hat\pi - \pi }{ \sqrt{\pi(1-\pi)/n} } > \frac { 0.68 - 0.6667 }{\sqrt{ 0.002743 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 0.25 \right) \\ &=& 1-P(Z< 0.25 )\\ &=& 1-\Phi( 0.25 ) \\ &=& 0.4013 \end{eqnarray*}\]

Poisson: Somma, \(S_{n}\)

In una azienda, che lavora a ciclo continuo, si sono osservati 39 problemi durante l’ultimo semestre. Si supponga che i problemi settimanali siano indipendenti tra loro e si distribuiscano secondo una Poisson\((\lambda)\). Calcolare la probabilità che il totale dei problemi rilevanti del prossimo anno sia compreso tra 75 e 80.

\[\begin{eqnarray*} X_{i} &\sim& \mbox{Poisson}(\lambda) \\ E(X_{i}) &=& \lambda = \frac{\#\ \mbox{problemi semestre}} {\#\ \mbox{settimane semestre}} = \frac{39} {26} = 1.5 \\ V(X_{i}) &=& \lambda = 1.5 \end{eqnarray*}\]

Teorema del Limite Centrale (somma di Poisson)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=52\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Pois}(\lambda=1.5)\)\(,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\lambda,n\lambda) \\ &\sim & N(52\cdot1.5,52\cdot1.5) \\ &\sim & N(78,78) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( 75 < \bar X \leq 80 ) &=& P\left( \frac { 75 - 78 }{\sqrt{ 78 }} < \frac { \bar X - n\lambda }{ \sqrt{n\lambda} } \leq \frac { 80 - 78 }{\sqrt{ 78 }}\right) \\ &=& P\left( -0.34 < Z \leq 0.23 \right) \\ &=& \Phi( 0.23 )-\Phi( -0.34 )\\ &=& \Phi( 0.23 )-(1-\Phi( 0.34 )) \\ &=& 0.591 -(1- 0.6331 ) \\ &=& 0.2241 \end{eqnarray*}\]

Poisson: Media, \(\bar{X}\)

Siano \(X_{1}, \ldots, X_{49}\) VC \(iid\) secondo una Poisson(1.5). Calcolare la probabilità che la media delle 49 VC sia compresa tra 1.4 e 2.

\[\begin{eqnarray*} X_{i} &\sim& \mbox{Poisson}(\lambda) \sim \mbox{Poisson}(1.5) \\ E(X_{i}) &=& \lambda = 1.5 \\ V(X_{i}) &=& \lambda = 1.5 \\ \end{eqnarray*}\] Teorema del Limite Centrale (somma di Poisson)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=49\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Pois}(\lambda=1.5)\)\(,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\lambda,n\lambda) \\ &\sim & N(49\cdot1.5,49\cdot1.5) \\ &\sim & N(73.5,73.5) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( 1.4 < \bar X \leq 2 ) &=& P\left( \frac { 1.4 - 73.5 }{\sqrt{ 73.5 }} < \frac { \bar X - n\lambda }{ \sqrt{n\lambda} } \leq \frac { 2 - 73.5 }{\sqrt{ 73.5 }}\right) \\ &=& P\left( -8.41 < Z \leq -8.34 \right) \\ &=& \Phi( -8.34 )-\Phi( -8.41 )\\ &=& (1-\Phi( 8.34 ))-(1-\Phi( 8.41 )) \\ &=& (1- 1 )-(1- 1 ) \\ &=& 0 \end{eqnarray*}\]

Poisson: Somma, \(S_{n}\)

Esercizio particolare. In Emilia-Romagna il numero di morti per incidenti sul lavoro per settimana è una VC \(X \sim\) Poisson(2.3). Qual è la probabilità che il numero di morti in un anno sia minore di 100?

\[\begin{eqnarray*} n &=& 52 \quad\mbox{numero settimane in un anno} \\ S_{n} &=& X_{1} + \cdots + X_{n} \\ X_{i} &\sim& \mbox{Poisson}(\lambda) \sim\mbox{Poisson}(2.3) \\ E(X_{i}) &=& \lambda = 2.3 \\ V(X_{i}) &=& \lambda = 2.3 \\ \end{eqnarray*}\]

Teorema del Limite Centrale (somma di Poisson)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=52\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Pois}(\lambda=2.3)\)\(,\forall i\), posto: \[ S_n = X_1 + ... + X_n \] allora:\[\begin{eqnarray*} S_n & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(n\lambda,n\lambda) \\ &\sim & N(52\cdot2.3,52\cdot2.3) \\ &\sim & N(119.6,119.6) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( \bar X < 100 ) &=& P\left( \frac { \bar X - n\lambda }{ \sqrt{n\lambda} } < \frac { 100 - 119.6 }{\sqrt{ 119.6 }} \right) \\ &=& P\left( Z < -1.79 \right) \\ &=& 1-\Phi( 1.79 ) \\ &=& 0.0367 \end{eqnarray*}\]

Proporzione – Poisson, \(\widehat{\pi}\)

ESERCIZIO COMPLESSO. Il numero di errori per foglio scritto è una VC, \(EF_i\). Sia \(EF_i \sim\text{Pois}(1)\) .

In una tesi di 80 pagine, qual è la probabilità (approssimata) che la proporzione di pagine (facciate) SENZA ERRORI sia maggiore di 0.7?

La VC “numero di errori per pagina”, \(EP_i\), sarà \(EP_{i}\ \sim\text{Pois}(0.5)\) per la proprietà riproduttiva. Sia \(X_{i}\) la VC binaria \(X_{i}=1\) se \(EP_i=0\): \(i=1.\ldots, 80\).

\[ P(EP_{i}=0) = \frac{(0.5)^{0}} {0!}\ e^{-0.5} = 0.6065 = P(X_{i}=1) =\pi . \]

\[\begin{eqnarray*} E(X_i) &=& \pi = 0.6065 \\ V(X_i) &=& \pi\ (1-\pi) = 0.6065 (1 - 0.6065) = 0.2387 \end{eqnarray*}\]

Teorema del Limite Centrale (proporzione)

Siano \(X_1\),…,\(X_n\), \(n=80\) VC IID, tc \(X_i\sim\text{Ber}(\pi=0.6065)\)\(,\forall i\), posto: \[ \hat\pi=\frac{S_n}n = \frac{X_1 + ... + X_n}n \] allora:\[\begin{eqnarray*} \hat\pi & \mathop{\sim}\limits_{a}& N(\pi,\pi(1-\pi)/n) \\ &\sim & N\left(0.6065,\frac{0.6065\cdot(1-0.6065)}{80}\right) \\ &\sim & N(0.6065,0.002983) \end{eqnarray*}\]\[\begin{eqnarray*} P( \hat\pi > 0.7 ) &=& P\left( \frac { \hat\pi - \pi }{ \sqrt{\pi(1-\pi)/n} } > \frac { 0.7 - 0.6065 }{\sqrt{ 0.002983 }} \right) \\ &=& P\left( Z > 1.71 \right) \\ &=& 1-P(Z< 1.71 )\\ &=& 1-\Phi( 1.71 ) \\ &=& 0.0436 \end{eqnarray*}\]