Test del Chi-quadro per conformità

Esercizio 1

L’Associazione Bar dell’Emilia Romagna ha condotto un’indagine sulle preferenze delle bevande dei clienti dei bar della regione. Durante una settimana, sono stati intervistati 250 clienti di vari bar della zona. L’associazione è interessata a capire se le preferenze dei clienti per le bevande differiscono dalla media nazionale.

Qui di seguito è riportata la tabella delle preferenze dei clienti dei bar dell’Emilia Romagna:

	Caffè	Tè	Altro	Totale
Dati Associazione	\(100\)	\(88\)	\(62\)	\(250\)
Media Nazionale	\(50\%\)	\(30\%\)	\(20\%\)	\(100\%\)

Testare l’ipotesi che le preferenze dei clienti dei bar dell’Emilia Romagna per le bevande differiscano dalla media nazionale.

\(\fbox{A}\) Formulazione delle ipotesi \[ \{H_0:\pi_\text{Dati Associazione}= \pi_\text{Media Nazionale},~~\forall j \] \(\fbox{B}\) Scelta e calcolo della statistica test.

Si tratta di un test chi quadro di conformità. \[ n^*_j = n\cdot \pi^*_{\text{Media Nazionale},j} \]

	Caffè	Tè	Altro	Tot
Dati Associazione	100.0	88.000	62.00	250.00
Media Nazionale	0.5	0.300	0.20	1.00
\(n_j^*\)	125.0	75.000	50.00	250.00
\(\chi^2\)	5.0	2.253	2.88	10.13

\(\fbox{C}\) Decisione

Il chi quadro osservato è 10.1333 è maggiore di \(\chi^2_{2;0.05}=5.9915\), e quindi rifiuto \(H_0\), al livello di significatività del 5\(\%\).

Graficamente

Il \(p_{\text{value}}\) è \[ P(\chi^2_{2}> \chi^2_{\text{obs}})=0.006304 \]

Esercizio 2

L’Associazione dei Ristoranti dell’Emilia Romagna ha condotto un’indagine sulle preferenze culinarie dei clienti dei ristoranti della regione. Durante una settimana, sono stati intervistati 300 clienti di vari ristoranti. L’associazione è interessata a capire se le preferenze dei clienti per le tipologie di cucina offerte differiscono dalla media nazionale.

Qui di seguito è riportata la tabella delle preferenze dei clienti dei ristoranti dell’Emilia Romagna e le percentuali nazionali:

	Italiana	Giapponese	Messicana	Mediterranea	Vegetariana	Totale
Dati Associazione	\(147\)	\(74\)	\(15\)	\(59\)	\(6\)	\(301\)
Media Nazionale	\(40\%\)	\(15\%\)	\(5\%\)	\(35\%\)	\(5\%\)	\(100\%\)

Testare l’ipotesi che le preferenze dei clienti dei bar dell’Emilia Romagna per le bevande differiscano dalla media nazionale.

\(\fbox{A}\) Formulazione delle ipotesi \[ \{H_0:\pi_\text{Dati Associazione}= \pi_\text{Media Nazionale},~~\forall j \] \(\fbox{B}\) Scelta e calcolo della statistica test.

Si tratta di un test chi quadro di conformità. \[ n^*_j = n\cdot \pi^*_{\text{Media Nazionale},j} \]

	Italiana	Giapponese	Messicana	Mediterranea	Vegetariana	Tot
Dati Associazione	147.000	74.00	15.0000	59.00	6.000	301.00
Media Nazionale	0.400	0.15	0.0500	0.35	0.050	1.00
\(n_j^*\)	120.400	45.15	15.0500	105.35	15.050	301.00
\(\chi^2\)	5.877	18.43	0.0002	20.39	5.442	50.15

\(\fbox{C}\) Decisione

Il chi quadro osservato è 50.1457 è maggiore di \(\chi^2_{4;0.05}=9.4877\), e quindi rifiuto \(H_0\), al livello di significatività del 5\(\%\).

Graficamente

Il \(p_{\text{value}}\) è \[ P(\chi^2_{4}> \chi^2_{\text{obs}})=0.0000000003367 \]