Capitolo 22 Richiami di Matematica

22.1 Richiami sui logaritmi

Si definisce \(\log x\) il logaritmo naturale di \(x>0\) - \(\lim_{x\to 0}\log x = -\infty\) - \(\log e = 1\), dove \(e\) è il numero di Nepero 2.7183…

Una delle utilità dei logaritmi è di trasformare il logaritmo del prodotto in somma dei logaritmi dei fattori.

Proprietà 1 \[\log a\cdot b=\log a + \log b\]

ed esprime la potenza come coefficiente moltiplicativo:

Proprietà 2 \[\log a^b=b\log a\]

Consideriamo il prodotto di logaritmi: \[\begin{eqnarray*} \log \prod_{i=1}^n a_i &=& \log a_1\cdot...\cdot a_n\\ &=& \log a_1+...+\log a_n\\ &=& \sum_{i=1}^n \log a_i \end{eqnarray*}\]

Inoltre \[\begin{eqnarray*} \log\prod_{i=1}^n a_i^{b_i} &=& \log a_1^{b_1}\cdot...\cdot a_n^{b_i}\\ &=& b_1\log a_1 + ... + a_n\log a_n\\ &=& \sum_{i=1}^n b_i\log a_i \end{eqnarray*}\]

22.2 Richiami di Analisi

22.2.1 Note sulla cardinalità degli insiemi

In matematica la cardinalità di un insieme indica il numero dei suoi elementi.

L’insieme \(E=\{a,b,c\}\) ha cardinalità finita \[\text{card} (E)=\# E = 3\] L’insieme dei numeri \(S=\{0,1,2,3,...,n\}\) ha cardinalità finita: \[\# S = n+1\] L’insieme dei numeri naturali \[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\} \] ha cardinalità infinita numerabile \[\# \mathbb{N} = \aleph_0,\qquad \text{infinito numerabile}\] L’insieme dei reali \[\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}, \qquad\text{i numeri reali sono dati dall'unione dei razionali $\mathbb{Q}$ e degli irrazionali $\mathbb{I}$}\] ha cardinalità infinita più che numerabile \[\# \mathbb{R} = \aleph_1,\qquad \text{infinito più che numerabile}\]

22.2.2 Funzioni Reali e loro derivate

Solitamente in analisi matematica si studia una generica funzione \(f\), dove la variabile è \(x\). La maggior parte degli esercizi riguardano \[ f(x), x\in\text{Dominio di $f$} \] In particolare, se \(f(x)=\log x, x>0\) sappiamo che \[f'(x)=\frac{1}x\]

Nella teoria della verosimiglianza lasceremo la lettera \(f\) assegnata alle funzioni di probabilità (nel caso discreto) e le funzioni di densità (nel caso continuo) e useremo lettere differenti per indicare la funzione. Allo stesso modo le etichette \(x\) restano per individuare i dati e le variabili sono i parametri del modello.

Quindi scriveremo, per esempio,

\[ g(\theta)=\log \theta,~~~ \theta\in\Theta \]

e leggeremo: \(g\) è funzione di \(\theta\) e se dobbiamo derivare la funzione lo facciamo rispetto a \(\theta\): \[g'(\theta)=\frac{1}\theta\]

Ricordiamo qualche semplice regola di derivazione:

Se \(f(\theta)=g(h(\theta))\) \[f'(\theta)=g'(h(\theta))h'(\theta)\]

Se \(f(\theta)=\log h(\theta)\) \[f'(\theta)=\frac{h'(\theta)}{h(\theta)}\]

1 TRUE