Capitolo 20 Richiami sugli Operatori Sommatoria e Produttorio

20.1 Operatore Sommatoria

È una forma simbolica per rappresentare somme di un numero qualunque di addendi. Si consideri un insieme di numeri indicizzati con \(i\) \[ \{a_1,...,a_n\} \] Si definisce la Sommatoria per \(i\) che va da 1 fino ad \(n\) \[ \sum_{i=1}^n a_i = a_1+a_2+...+a_n \] \(i\) ed \(n\) sono chiamati quantificatori.

Esempio

Si consideri l’insieme \[ S=\{a_1=30,a_2=15,a_3=21\} \] allora la Sommatoria per \(i\) che va da 1 fino ad 3 \[ \sum_{i=1}^3 a_i = 30+15+21=66 \]

Si consideri l’insieme \[ S=\{x_1 = 3.1,x_2 = 4.1, x_3 = 1.4,x_4=3.3,x_5=2.9\} \] allora la Sommatoria per \(a\) che varia in \(S\) \[ \sum_{i=3}^5 x_3 + x_4+x_5=x_3 = 1.4+3.3+2.9=7.6 \]

Un modo alternativo per indicare i quantificatori è il seguente. Sia \(S\) un insieme di numeri \[ S=\{a_1,...,a_n\} \] Si definisce la Sommatoria di tutti gli \(a\) in \(S\) \[ \sum_{a\in S} a = a_1+a_2+...+a_n \]

Si consideri l’insieme \[ S=\{y_1=3.0,y_2=1.5,y_3=2.1\} \] allora la Sommatoria per \(a\) che varia in \(S\) \[ \sum_{a\in S} a = 3.0+1.5+2.1=6.6 \]

Proprietà della Sommatoria

  1. Se \(k\) è una costatante, allora \[ \sum_{1=1}^n k x_i = k\sum_{1=1}^n x_i \]

Infatti

\[\begin{eqnarray*} \sum_{1=1}^n k x_i &=& k\cdot x_1 + k\cdot x_n\\ &=& k(x_1+...+x_n)\\ &=& k\sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray*}\]

Si consideri l’insieme \[ S=\{x_1 = 3.1,x_2 = 4.1, x_3 = 1.4,x_4=3.3,x_5=2.9\}, \] Posto \(k=3.6\)

\[\begin{eqnarray*} \sum_{1=1}^n k x_i &=& 3.6\times 3.1+3.6\times 4.1+3.6\times 1.4+3.6\times 3.3+3.6\times 2.9\\ &=& 3.6\times(3.1+4.1+1.4+3.3+2.9)\\ &=& 53.28 \end{eqnarray*}\]

  1. Se consideriamo due insiemi di numeri \(\{a_1,...,a_n\}\) e \(\{b_1,...,b_n\}\), allora

\[ \sum_{1=1}^n (a_i + b_i) = \sum_{1=1}^n a_i + \sum_{1=1}^n b_i \]

Posto \(S_X=\{x_1 = 3.1,x_2 = 4.1, x_3 = 1.4\}\), \(S_Y=\{y_1 = 1.9,y_2 = 6.3, y_3 = 5.1\}\)

\[\begin{eqnarray*} \sum_{1=1}^n k x_i &=& 3.6\times 3.1+3.6\times 4.1+3.6\times 1.4+3.6\times 3.3+3.6\times 2.9\\ &=& ( 3.1+4.1+1.4 ) + ( 1.9+6.3+5.1 )\\ &=& 21.9 \end{eqnarray*}\]

  1. Se \(k\) è una costante, allora

\[ \sum_{1=1}^nk=k+k+...+k=n\cdot k \]

Posto \(k=3.6\) e \(n=4\), allora \[\begin{eqnarray*} \sum_{1=1}^n k &=& \sum_{1=1}^4 3.6\\ &=& 3.6+3.6+3.6+3.6\\ &=& 4\times 3.6\\ &=& 14.4 \end{eqnarray*}\]

  1. Se \(k\) e \(c\) sono due costanti, allora

\[ \sum_{1=1}^n(c+ k a_i) = n\cdot c+k\sum_{1=1}^n a_i \]

Posto \(S_X=\{x_1 = 3.1,x_2 = 4.1, x_3 = 1.4\}\), \(k=3.6\) e \(c=0.5\), allora

\[\begin{eqnarray*} \sum_{1=1}^n c + k x_i &=& \sum_{1=1}^3 0.5 + 3.6\times x_i \\ &=& 0.5 + 3.6 \times 3.1+0.5 + 3.6 \times 4.1+0.5 + 3.6 \times 1.4\\ &=& 4\times 0.5 + 3.6 \times (3.1+4.1+1.4)\\ &=& 32.46 \end{eqnarray*}\]

Attenzione!

\[ \sum_{1=1}^n (a_i \cdot b_i) \ne \left(\sum_{1=1}^n a_i \right)\cdot\left(\sum_{1=1}^n b_i\right) \]

Posto \(S_X=\{x_1 = 3.1,x_2 = 4.1, x_3 = 1.4\}\), \(S_Y=\{y_1 = 1.9,y_2 = 6.3, y_3 = 5.1\}\)

\[\begin{eqnarray*} \sum_{1=1}^n x_i &=& 8.6\\ \sum_{1=1}^n y_i &=& 13.3\\ \sum_{1=1}^n x_i y_i &=& ( 3.1 \times 1.9 )+( 4.1 \times 6.3 )+( 1.4 \times 5.1 )\\ &=& 38.86\\ &\ne& 8.6\times 13.3=114.38 \end{eqnarray*}\]

20.2 Operatore Produttorio

Siano \(a_1,...,a_n\), \(n\) numeri, \(a_i\in\mathbb{R}\): L’operatore sommatoria somma gli elementi \[\sum_{i=1}^n a_i=a_1+ a_2+ ...+ a_n\], allo stesso modo, l’operatore produttoria opera il prodotto dei dati

Definizione 20.1 (Produttoria) L’operatore produttoria moltiplica gli elementi \[\prod_{i=1}^n a_i=a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n\]

Esempio: \(a_1=1.1\), \(a_2=0.9\), \(a_3=1.3\) \[\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i &=& 1.1 + 0.9 + 1.3 = 3.3\\ \prod_{i=1}^n a_i &=& 1.1 \times 0.9 \times 1.3 = 1.287 \end{eqnarray*}\]